Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2003 жыл

$a$ натурал саны және бүтін теріс емес коэффициенттері бар $f(x)$ көпмүшесі берілсін. ${{a}_{1}}=a$, ${{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})$ ережесі бойынша құралған тізбекті қарастырайық. Осы тізбектін кем дегенде бір мүшесін бөлетін, жай сандар жиыны шексіз емес екені белгілі. Кейбір бүтін теріс емес $c$ және $k$ үшін, $f(x)=c{{x}^{k}}$ екенін дәлелдеңіз.