Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2001 жыл

Қатарынан бір горизонтальда немесе бір вертикальда орналасқан, кез келген 10 санның қосындысы 101-ге бөлінетіндей және әрбір бүтін сан кем дегенде бір торда кездесетіндей, шексіз торлы бетке, бүтін сандарды орналастыруға болады ма? ( А.Я.Канель-Белов )

Комментарий/решение

Решение: заметим что если в начале заполнить квадрат 10*10, то в нем встретятся максимум 100 чисел которые дают разные остатки по модулю 101. При этом если взять 2 строки или 2 столбца, отличающихся одним числом, то есть они пересекаются на 9 чисел, если оба делятся на 101, то те 2 числа не входившие в пересечении должны быть равны по мод 101. А значит, если мы задали таблицу 10*10, то мы узнаем что дают по мод 101 другие числа. То есть например, угловая верхняя левая клетка такая же по мод 101 как и клетка правее угловую верхней правой клетки и такая же по мод 101 как и клетка ниже угловой нижней левой. Но тогда встретятся не все числа так как максимум 100 различных по мод 101. Отсюда такого быть не могло. Доказано.