Математикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта

$ABC$ үшбұрышының $A$ төбесіне сәйкес іштейсырт сызылған шеңбер $BC$ кесіндісін ${{A}_{1}}$ нүктесінде жанайды. Дәл осылай, $B$ және $C$ төбелеріне сәйкес іштейсырт сызылған шеңберлер $CA$ кесіндісінде ${{B}_{1}}$ ал $AB$ кесіндісінде ${{C}_{1}}$ нүктелерді сәйкесінше белгілейік. ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің центрі $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің бойында жатса, онда $ABC$ тікбұрышты үшбұрыш болатын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Возьмем $M,N,P$ как середины дуг $BC,CA,AB$ соответственно

Возьмем эксцентры

$$I_a,I_b,I_c$$

И такуя точку $M$ что $B_1C$ в $C_1B$ и точки $A,M,B_1,C_1$ лежат на одной окружности

Значит $M$ лежит на перпендикуляре к биссектрисе $B_1C_1$

Значит $A_1B_1C_1$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$

Значит они одни из точек $M, N, P$

Докажем, что $\angle A=90^{\circ}$ при $M$

Заметим что $MN$ является серединным перпендикуляром к $A_1C_1$ и $MP$ к $A_1B_1$

Т.к. $MN \parallel I_aI_b$, $A_1C_1 \perp I_aI_b$ и аналогично $A_1B_1 \perp I_aI_c$

$\angle B_1A_1C_1=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{\angle A}{2})$

$\angle B_1MC_1=180^{\circ} -\angle A=\angle B_1AC_1=\angle A$

$\angle A=90^{\circ}$