Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 8 сынып

$L$ және $M$ нүктелері — $ABCD$ тіктөртбұрышының сәйкес $AB$ және $BC$ қабырғаларының ортасы, ал $P$ — $CL$ мен $AM$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер $\angle MPC={{30}^{\circ }}$ болса, $LDM$ бұрышын тап.

Комментарий/решение

Ответ: $30^\circ$

$\angle MDL=x$

$\angle ADL=y$

MD кесіндісін қосамыз. Сонда $\triangle AMD$ тең бүйірлі үшбұрыш.

$$\angle PAL=90^\circ-x-y$$

$$\angle MPC=\angle LPA=30^\circ$$

$$\angle CLB=\angle LPA+\angle PAL=30^\circ+90^\circ-x-y=120^\circ-x-y$$

$$\angle BLC=\angle LCD=120^\circ-x-y$$ себебі АВ мен СД параллель

$$\angle LCD=\angle LDC=120^\circ-x-y. Себебі \triangle LCD тең бүйірлі$$

$$\angle LDC=90^\circ-y, \angle LDC=\angle LCD$$

$$90^\circ-y=120^\circ-x-y$$

$$x=30^\circ$$