Математикадан 45-ші халықаралық олимпиада, 2004 жыл, Афины

$AB\ne AC$ болатын $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы берілсін. Диаметрі $BC$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $M$ және $N$ қияды. $O$ нүктесі арқылы $BC$ қабырғасының ортасын белгілейік. $BAC$ және $MON$ бұрыштарының биссектрисалары $R$ нүктесінде қиылысады. $BMR$ және $CNR$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің $BC$ қабырғасында жататын ортақ нүктесі бар екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Так как биссектриса угла $\angle MON$ - серединный перпендикуляр отрезка $MN$, то точка $R$ середина дуги $\overset\frown{MN}$ описанной окружности треугольника $AMN$ . Значит $AMNR$ - вписанный и теорема Микеля завершает доказательство.