Математикадан 38-ші халықаралық олимпиада, 1997 жыл, Мар-дель-Плата

Координата жазықтығы төбелері бүтін санды координаталар болатын бірлік квадраттарға бөлінген. Квадраттар шахмат ретімен ақ және қара түстерге боялған. Әрбір $m$ және $n$ натурал сандар жұптары үшін катеттері координат остеріне параллель және ұзындықтары $m$ және $n$ болатын, төбелері бүтін санды координаталарда жататын тікбұрышты үшбұрыштар қарастырылады. Қара түспен боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы ${{S}_{1}}$ болсын, ал ақ түске боялған үшбұрыш бөліктерінің аудандарының қосындысы ${{S}_{2}}$ болсын. $f\left( m,n \right)=\left| {{S}_{1}}-{{S}_{2}} \right|$ болсын.
а) Жұптығы бірдей болатын $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right)$ есептеңіздер.
б) Кез келген $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right)\le \dfrac{1}{2}\max \left\{ m,n \right\}$ дәлелдеңіздер.
в) Кез келген $m$ және $n$ сандары үшін $f\left( m,n \right) < C$ орындалатындай $C$ саны табылмайтынын дәлелдеңіздер.