Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы $29=2\cdot 9+2+9$.)

Комментарий/решение

Для двузначных

10x+y=xy+x+y

9x=xy

y=9

x={1;9}

Для трехзначных и выше

10^(N)x+10^(N-1)y+...=x+y... +xyzt...

(10^(N)-1-yzt)x+10^(N-1)y+...=0

Максимальное значение xyzt... составляет 9^N где N>1 это кол-во цифр в числе и оно всегда меньше чем 10^(N) за исключением случаев когда N=2

10