Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Сколько существует натуральных чисел больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например, $29=2+9+2\cdot 9$)?

Комментарий/решение

Для двузначных

10x+y=xy+x+y

9x=xy

y=9

x={1;9}

Для трехзначных и выше

10^(N)x+10^(N-1)y+...=x+y... +xyzt...

(10^(N)-1-yzt)x+10^(N-1)y+...=0

Максимальное значение xyzt... составляет 9^N где N>1 это кол-во цифр в числе и оно всегда меньше чем 10^(N) за исключением случаев когда N=2

10