Математикадан жасөспірімдер арасындағы 8-ші Балкан олимпиадасы 2004 жыл, Нови Сад Югославия

Дөңес $n$-бұрышты қарастырайық $(n \geq 4)$. Төбелері көпбұрыш төбесі болатын және ешбір екі үшбұрыш қиылыспайтындай көпбұрышты кез келген түрде үшбұрыштарда бөлеміз. Екі қабырғасы көпбұрыш қабырғасы болатын үшбұрыштарды қара түске бояймыз; ал тек бір ғана қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болса қызыл түске бояймыз; ешбір қабырғасы көпбұрыштың қабырғасы болмаса ақ түске бояймыз.
Қара үшбұрыштар саны ақ үшбұрыштар санынан екіге көп екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $b,r,w$ - количества черных, красных и белых треугольников, соответственно.

Лемма 1. $r+2b=n$.

Доказательство: сложим количества сторон, являющихся общими для треугольников и данного $n$-угольника

Лемма 2. $b+r+w=n-2$.

Доказательство: По индукции докажем, что количество треугольников равно $n-2$. База $n=3,4$ очевидна. Пусть утверждение верно при всех $3\le n\le k$. Проведённая в разбиении $k+1$-угольника диагональ, разделяет его на $r$-угольник и $s$-угольник, причем $r+s=n+2$. Количество треугольников в $r$-угольнике равно $r-2$, в $s$-угольнике $s-2$. В итоге их сумма $(r-2)+(s-2)=n-2$ является искомым количеством. Лемма доказана.

Вычитаем условие первой леммы из второй, тогда $b-w=2$, что требовалось