Математикадан жасөспірімдер арасындағы 7-ші Балкан олимпиадасы 2003 жыл, Измир, Турция

$D$, $E$, $F$ нүктелері сәйкесінше $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BC$, $CA$, $AB$ доғаларының орталары. $DE$ түзуі $BC$ және $CA$-ны сәйкесінше $G$ және $H$ нүктелерінде қисын, ал $M$ нүктесі $GH$ кесіндісінің ортасы болсын. $FD$ түзуі $BC$ және $AB$-ны сәйкесінше $K$ және $J$ нүктелерінде қисын, ал $N$ нүктесі $KJ$ кесіндісінің ортасы болсын.
а) $DMN$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыздар.
b) $AD$ және $EF$ түзулерінің қиылысу нүктесі $P$ болса, онда $DMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $PMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Могу быть не прав, но различные треугольники дают различные углы в $\triangle DMN$. Возможно, в задаче не хватает данных, или же имеется опечатка

Да, они различны, так как $\angle EDF=(\angle B+\angle C)/2=90-\angle A/2$

a) Несложно догадаться, что $N$ лежит на биссектрисе $BE$, поскольку, если считать, что $N_1$ - точка пересечения $KJ$ с $BE$, то $\angle BN_1D=\angle BAC/2+(\angle ACB/2+\angle ABC/2)=90, \Rightarrow N=N_1$, аналогично и $M$ лежит на биссектрисе $CF$. Рассмотрим четырехугольник $IMDN$, где $I$ - точка пересечений биссектрис треугольника $ABC$. Он вписанный, так как $\angle DNI=\angle DMI=90, \Rightarrow \angle NID=\angle BID=(\angle A+\angle B)/2=$

$$=\angle NMD=90-\angle C/2, \angle NDM=\angle FDE=90-\angle A/2, \angle DNM=90-\angle B/2$$

б) Нетрудно понять, что $\triangle NPM \sim \triangle BAC$, так как мы можем узнать их углы по пункту а. Пусть $O$ - середина $ID$, тогда $\angle NOM=2 \cdot \angle NDM=180-\angle BAC$, но $\angle NPM=\angle BAC=\angle A$, их сумма=$180$, $\Rightarrow N,P,O$ и $N \in \omega$

Что ты наспмил? Скажи Админу чтобы удалил 2 последних дублированных комментарии

+, нажал на редактирование, почему-то добавляется комментарий вместо этого. Админ, удали, пожалуйста, 2 мои комментария.

почему в матоле вообще нет функции удаления комментария

да, было бы круто. Затупил - можешь только стереть комментарий, хотя все могут просто увидеть сообщение до правки