Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл

Әрқайсысы 1-ден үлкен болатын $x$, $y$ және $z$ сандары үшін $\dfrac{1}{{{x}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}-1}+\dfrac{1}{{{z}^{2}}-1}=1$ теңдігі орындалады. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\le 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть сумма равна $S=1$ так как

$L=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$ с другой стороны равна $L=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$ откуда приравнивая и заменяя $\frac{1}{x-1}=n, \frac{1}{x+1}=a$ получаем $n=\frac{a}{1-2a}$ значит $L=\frac{a^2}{1-2a}$ аналогично с остальными откуда

$S=\frac{a^2}{1-2a}+\frac{b^2}{1-2b}+\frac{c^2}{1-2c}=1$

По неравенству коши $S \geq \frac{(a+b+c)^2}{3-2(a+b+c)}$ откуда $a+b+c \leq 1$