Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2008 жыл

$x,y,z\ge 0$ кез келген нақты сандары үшін $\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{3}\ge xyz+\dfrac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Данное неравенство эквивалентна:

$4(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) \geq 9|(x-y)(y-z)(z-x)$

Теперь заметим такие 2 неравенства:

$2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x) \geq |x-y|+|y-z|+|z-x| \geq 3 \sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|}$

$2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 3 \sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|^2}$

Если перемножить эти две неравенства тогда выйдет неравенство сверху.