Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 9 класс

Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ и продолжении сторон $AB$ и $AC$. Докажите, что расстояние от вершины $A$ до точки касания окружности с прямой $AB$ равно полупериметру треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

$AM=AN$ по свойству касательных. Откуда $AM=\dfrac{AM+AN}{2}$. Также $BM=BG$ по свойству касательных. Аналогично $CG=CN$. Откуда $AM=\dfrac{AB+BM+AC+CN}{2}=$.

$$=\dfrac{AB+BG+CG+AC}{2}=\dfrac{AB+BC+AC}{2}$$

что и требовалось доказать