Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

Шеңбер $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасын, $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындыларын жанайды. $A$ төбесінен шеңбердің $AB$ түзуімен жанасу нүктесіне дейінгі қашықтық $ABC$ үшбұрышының жартыпериметріне тең болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$AM=AN$ по свойству касательных. Откуда $AM=\dfrac{AM+AN}{2}$. Также $BM=BG$ по свойству касательных. Аналогично $CG=CN$. Откуда $AM=\dfrac{AB+BM+AC+CN}{2}=$.

$$=\dfrac{AB+BG+CG+AC}{2}=\dfrac{AB+BC+AC}{2}$$

что и требовалось доказать