Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год

Для натурального числа $k$ назовем целое число $\textit{точной k-ой степенью}$, если его можно представить в виде $m^k$ для некоторого целого числа $m$. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют $n$ различных натуральных чисел таких, что их сумма является точной $2009$-ой степенью, а их произведение — точной $2010$-ой степенью. (Напоминаем, что $0$ не является натуральным числом.)

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Пусть существуют натуральные числа $x_1,x_2,...,x_n$, удовлетворяющие условую задачи, то есть

$$ \begin{cases} x_1+ x_2 + ... +x_n= a^{2009} \\ x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n=b^{2010}\end{cases}$$

Рассмотрим множество чисел $\left\{ a^{2009^k\cdot 2010^l}x_1, a^{2009^k\cdot 2010^l}x_2,...., a^{2009^k\cdot 2010^l}x_n\right\}$. Теперь докажем, что элементы этого множество удовлетворяют условиям задачи

$$ \begin{cases} a^{2009^k\cdot 2010^l}x_1+a^{2009^k\cdot 2010^l}x_2+....+a^{2009^k\cdot 2010^l}x_n= a^{2009^k\cdot 2010^l}(x_1+ x_2 + ... +x_n)=a^{2009^k\cdot 2010^l} \cdot a^{2009}=a^{2009^k\cdot 2010^l+2009}=\Big(a^{2009^{k-1}\cdot 2010^l+1}\Big)^{2009}\\a^{2009^k\cdot 2010^l} x_1\cdot a^{2009^k\cdot 2010^l+...+2009^k\cdot 2010^l}x_2\cdot....\cdot x_n=a^{\underbrace{2009^k\cdot 2010^l+2009^k\cdot 2010^l+....+2009^k\cdot 2010^l}_n}\cdot x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n=a^{2009^k\cdot 2010^ln}\cdot b^{2010}=\Big(a^{2009^k\cdot 2010^{l-1}n}\cdot b\Big)^{2010}\end{cases}$$

Таким образом, эти числа полностью соответствуют условиям задачи. Что и требовалось доказать.

$\textbf{Замечание.}$ Для каждого натурального числа $n$ существует бесконечное число чисел, которые удовлетворяют условиям задачи.(Так, как вместо чисел $k$ и $l$ можно выбрать любые натуральные числa)

Построим пример для $\forall n\in\mathbb N$.

Пусть $S=1^{2010}+2^{2010}+ ... +n^{2010}$.

Рассмотрим $x_i=i^{2010}\cdot S^{2008\cdot 2010}=i^{2010}\cdot S^{2009^2-1}$, где $i=1,...,n$.

Тогда

$$\prod\limits_{i=1}^{n} x_i=\prod\limits_{i=1}^{n} i^{2010}×(S^{2008\cdot 2010})^n=(n!\cdot S^{2008n})^{2010},$$

$$\sum\limits_{i=1}^{n} x_i=S^{2009^2-1}×(\sum\limits_{i=1}^{n} i^{2010})=S^{2009^2-1}×S=S^{2009^2}=(S^{2009})^{2009}.\quad\blacksquare$$