5-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2005 жыл

Мынадай барлық $(m, n)$ натурал сандар парларын табыңыз: өлшемі $m \times n$ болатын шахмат тақтасының әрбір бірлік шаршысын, онымен көршілес және түстес бірлік шаршылардың саны тақ сан болатындай етіп, ақ немесе қара түске бояуға болады. Әртүрлі екі бірлік шаршының ең кемінде бір ортақ төбесі бар болса, оларды көрші дейміз.