Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Экспертке сырт жағынан бірдей 12 тиын берді. Олардың ішінде жалған тиын болуы мүмкін. Барлық шын тиын салмақтары бірдей, барлық жалған тиындардың да салмақтары бірдей де, бірақ жалған тиын шын тиыннан жеңілдеу. Экспертте екі табақты таразы және эталонды 5 жалған мен 5 шын тиын бар. Ол 4 өлшем жасап, қанша жалған тиын бар екенін анықтай алады ма?

( О. Нечаева )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Сможет.
Решение. Очевидно, достаточно показать, что можно за два взвешивания определить количество фальшивых монет среди шести данных. Назовем эти шесть монет неизвестными. Берем три настоящие монеты и три фальшивые, взвешиваем их с неизвестными. Если весы в равновесии, то среди неизвестных монет ровно три фальшивых. Пусть вес эталонных монет больше. Тогда среди неизвестных монет 4, 5 или 6 фальшивых. Возьмём пять эталонных фальшивых и одну эталонную настоящую и взвесим их с неизвестными монетами. При равенстве мы получаем, что среди неизвестных монет ровно 5 фальшивых, если перевесят эталонные — 6 фальшивых, если перевесят неизвестные — 4 фальшивых. Случай, когда при первом взвешивании перевесили неизвестные монеты, рассматривается аналогично, но второе взвешивание производится с 5 эталонными настоящими монетами и одной эталонной фальшивой.