Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$AD=AB+CD$ болатындай $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $A$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасының ортасынан өтетіні белгілі. $D$ бұрышының биссектрисасы да $BC$ қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть $E$ — середина $BC$. Отметим на стороне $AD$ точку $F$ такую, что $AB = AF$; тогда из условия $FD = AD-AF = CD$. Треугольники $AEB$ и $AEF$ равны по двум сторонам ($AB = AF$, $AE$ — общая) и углу между ними. Значит, $EF = BE = EC$. Теперь получаем, что треугольники $DEF$ и $DEC$ равны по трём сторонам, откуда $\angle EDF = \angle EDC$, и точка $E$ лежит на биссектрисе угла $D$, что и требовалось доказать.