Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Өтірікшілер мен серілер елінде (серілер әрқашан шындықты, ал өтірікшілер әрқашан да өтірік айтады) он адамға 1-ден 10-ға дейінгі әр түрлі сан берілді.
Содан кейін, олардан «Сіздің саныныз 2-ге бөлінеді ма?» деп сұрады. Оң жауапты 3 адам берді.
«Сіздің саныныз 4-ке бөлінеді ма?» деген сұраққа оң жауапты 6 адам берді.
«Сіздің саныныз 5-ке бөлінеді ма?» деген сұраққа оң жауапты 2 адам берді.
Өтірікшілерге қандай сандар берілген?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Лжецы получили номера 2, 5, 6, 10.
Решение. Рассмотрим людей под номерами 4, 5, 8, 10. Ответы только этих людей на второй и третий вопросы могли отличаться. На второй вопрос ответило утвердительно на 4 человека больше, чем на третий. Это означает, что все люди под указанными номерами ответили «да» на второй вопрос и «нет» на третий. Но изменить ответ с «да» на «нет» могут только рыцари с номерами 4, 8, и лжецы с номерами 5, 10. Значит, номера 4 и 8 получили рыцари, а номера 5 и 10 — лжецы. Теперь ясно, что на второй вопрос все лжецы должны дать утвердительный ответ, и потому лжецов ровно четверо. В то же время на первый вопрос отвечают «да» только те лжецы, которые имеют нечётные номера и, значит, такой всего один (5), а лжецов с чётными номерами трое. Поэтому лжецам принадлежат оставшиеся «нераспределёнными» чётные номера 2 и 6, что и завершает решение.