Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Шарик пен Матроскин шеңбер трассада шаңғымен жүреді. Шеңбердің жартысы тауға көтерілім де, ал жартысы таудан түсетін жол. Көтерілу кезіндегі олардың жалдамдықтары бірдей және ол жылдамдық олардың түскен кездегі жылдамдықтарынан төрт есе аз. Шариктің Матроскиннен ең кіші қалуы 4 км, ал ең үлкені 13 км. Трассаның ұзындығын табыңыз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 24 км.
Решение. Минимальное отставание Шарика от Матроскина случается, когда Шарик находится в самой низкой точке трассы, а Матроскин — поднимается в гору (если в это время Матроскин спускается, то получается, что половина трассы короче 4 км, что, очевидно, невозможно). И оно сохраняется до тех пор, пока Матроскин не достигнет самой высокой точки. После этого Шарик поднимается еще 4 км в гору, а Матроскин спускается. Если бы Матроскин спускался все это время, то отдалился бы от Шарика (точнее, самой высокой точки) на 16 км. Но расстояние перестало возрастать, когда Матроскин опережал Шарика на 13 км, а, значит, Матроскин достиг самой низкой точки трассы и начал подниматься в гору. Поскольку отставание увеличивалось на 3 км за каждый километр, пройденный Шариком, а всего увеличилось на 9 км, то Шарику до самой высокой точки оставался $4-(13-4)/(4-1) = 1$ км в то время, как Матроскин достиг самой низкой точки. Значит, длина спуска составляет $13-1 = 12$ км, а всей трассы — 24 км.