Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаға түсірілген биіктік гипатенузадан төрт есе қысқа. Үшбұрыштын сүйір бұрыштарын табыңыз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 15 и 75 градусов.
Решение. Пусть $ABC$ — данный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Как известно, медиана $CM$ равна половине гипотенузы $AB$. Высота $CH$ по условию равна $AB/4$. Стало быть, в прямоугольном треугольнике $CHM$ гипотенуза $CM$ вдвое длиннее катета $CH$. Следовательно, угол $CMH$ равен 30 градусам, а смежный с ним угол (пусть это $BMC$) равен 150 градусам. Поскольку это угол при вершине равнобедренного треугольника $BMC$, $\angle ABC = \angle MBC = (180^\circ - \angle BMC)/2 = 15^\circ$, откуда и получаем ответ.