Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 9 класс


Докажите, что для любого вещественного $x \in (0;1)$ выполняется неравенство $ \frac{{x^2 }} {{1 - x}} + \frac{{(1 - x)^2 }} {x} \geq 1. $
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3 | проверено модератором
2016-08-09 14:04:26.0 #

Заметим, что при $x \in {(0;1)}$, число $x(1-x)$ положительно. Поэтому верны следующие эквивалентные неравенства:

$\dfrac {x^3+(1-x)^3}{x (1-x)}>1 \Leftrightarrow $

$x^3+(1-x)^3>x-x^2 \; \Leftrightarrow \; x^3+1-3x+3x^2-x^3>-x^2+x \; \Leftrightarrow$

$4x^2-4x+1>0 \; \Leftrightarrow \; (2x-1)^2>0$, что очевидно верно.

пред. Правка 2   -1
2018-12-12 20:29:36.0 #

пред. Правка 2   -3 | проверено модератором
2016-09-28 11:43:56.0 #

Левую часть выражения обозначим через $A$. Так как $x\in(0,1)$, то существует $t$ такой, что $x=\sin^2t$. Тогда $1-x=1-\sin^2t=\cos^2t$. Тогда

$$A=\frac{\sin^4t}{1-\sin^2t}+\frac{(1-\sin^2t)^2}{\sin^2t}=\frac{\sin^4t}{\cos^2t}+\frac{\cos^4t}{\sin^2t} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin^2t)^3+(\cos^2t)^3}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{(\sin^2t+\cos^2t)(\sin^4t-\sin^2t\cdot \cos^2t+\cos^4t)}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{\sin^4t-\sin^2t\cdot \cos^2t+\cos^4t}{\cos^2t\cdot \sin^2t}\Leftrightarrow $$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sin^2t+\cos^2t)^2-3\cdot \sin^2t \cdot \cos^2t}{\cos^2t\cdot \sin^2t}=\frac{1}{\cos^2t\cdot \sin^2t}-3.$$ Следовательно, данное неравенство эквивалентно $\dfrac{1}{\cos^2t\cdot \sin^2t}-3 \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{4}{\sin^22t}\geq4 \Leftrightarrow$ $\sin^22t\leq 1$, что верно для функции "синус".

  3
2018-12-05 17:55:35.0 #

Используем неравенство Седракяна(дробный КБШ)

$\frac{x^2}{1-x} + \frac{(1-x)^2}{x} \ge \frac{(x+1-x)^2}{1-x+x}=1$

пред. Правка 2   0
2018-12-12 20:29:57.0 #