Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Учитель физкультуры хочет выстроить в шеренгу (линию) 60 школьников – 29 мальчиков и 31 девочку так, чтобы ни один из школьников (девочка или мальчик) не стоял между двумя девочками. Удастся ли ему это?
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что для любого вещественного $x \in (0;1)$ выполняется неравенство $ \frac{{x^2 }} {{1 - x}} + \frac{{(1 - x)^2 }} {x} \geq 1. $
комментарий/решение(2)
Задача №3.  На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=EC$. Докажите, что отрезки $AD$ и $AE$ делят сторону $BC$ на три равные части.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все тройки простых чисел $p$, $q$, $r$ (или докажите, что таких нет), удовлетворяющие уравнению $p + q^2 + r^3 = 200.$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Вне квадрата $ABCD$ взяли такую точку $P$, что $AP=AB$ и $\angle ADP=10^\circ $. Какие возможные значения может иметь величина угла $\angle APB$?
комментарий/решение
Задача №6.  Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.
комментарий/решение