Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ натуральные такие, что для любого натурального $n$, число $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на $(abc)^n$. Докажите, что $a = b = c$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

После раскрытия скобок внутри куба и проверив по $\pmod {(abc)^n}$ получим что

$$(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n-a^n-b^n-c^n)^3$$

делится на $(abc)^n$. Взяв НОД$(a,b,c)=d$ и $a=xd,b=yd,c=zd$ получаем, что

$$(d^n(x^ny^n+y^nz^n+z^nx^n)-x^n-y^n-z^n)^3..........(1)$$

делится на $(xyz)^n$.

Так как НОД$(x,y,z)=1$ то легко проверить , что $x,y,z-$ попарно взаимно просты. Б.О.О пусть $z>1$

Проверив остаток от (1) по $\pmod {z^n}$ получаем что:

$$(d^nx^ny^n-x^n-y^n)^3$$

делится на $z^n$.

Пусть простое $p|z$, тогда подставив $n=p-1$ по Малой теореме Ферма получим:

$$(d^{p-1}-2)^3\equiv 0 \pmod p$$

откуда выходит что $p|d$ и следовательно $8\equiv 0 \pmod p$ , поэтому $z$ - четное, а $x,y$ -нечетные (даже $x=y=1$ выходит)

и тогда $x^4\equiv y^4\equiv 1 \pmod {16}$.

Но тогда при $n=4$:

$(d^4x^4y^4-x^4-y^4)^3\equiv (0-1-1)^3=-8 \pmod {16}-$ Противоречие.

Значит $x=y=z=1$.

Допустим у $a$ есть простой делитель, которого нет у $b$ и $c$ = p

Рассмотрите по mod p, при n=p-1. По Малой Теорема Ферма приведет к тому, что a=b=c=1.

Аналогично рассмотрите, что этот простой делитель есть у $а$ и $b$, но нет у $с$. Опять убедитесь в противоречии, значит что любой простой делитель есть у всех троих, если они в разной степени (1<x<y<z), то левая часть по mod z даст 1, а правая поделится