38-я Балканская математическая олимпиада. 2021 год

Задача №1.  Пусть $ABC$ является треугольником, у которого $AB < AC$. Пусть $\omega$ является окружностью, проходящей через $B$, $C$ и допустим, что $A$ находится внутри $\omega$. Предположим, что $X$, $Y$ лежат на $\omega$ и $\angle BXA = \angle AYC$. Предположим также, что $X$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, а также $Y$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Покажите, что при изменении $X$, $Y$ на $\omega$ прямая $XY$ проходит через некоторую фиксированную точку.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Найдите все функций $f: (0, +\infty)\to (0, +\infty)$ такие, что $f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$ справедливо для всех $x,y \in (0, +\infty)$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть $a$, $b$ и $c$ являются натуральными числами, удовлетворяющие уравнению $\text{НОД}(a,b)+\text{НОК}(a,b)=2021^c.$ Если $|a-b|$ является простым числом, то докажите, что число $(a + b)^2 + 4$ является составным.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  У Ангела есть склад, на котором изначально находится 100 куч по 100 кусков мусора в каждой. Каждое утро Ангел выполняет ровно одно из следующих действий:
   (a) Он очищает каждый кусок мусора из одной кучи.
   (b) Он очищает по одному кусочку мусора из каждой кучи.
   Однако каждый вечер на склад пробирается демон и выполняет ровно одно из следующих действий:
   (a) Он добавляет по одному куску мусора в каждую непустую кучу.
   (b) Он создает новую кучу с одним куском мусора.
   В какое первое утро Ангел может гарантировать, что очистил весь мусор со склада?
комментарий/решение(1)

---