қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Вещественные числа $a_1, a_2, \dots ,a_{20}$ таковы, что
$$
|a_1-a_2|=2|a_2-a_3|= \dots =19|a_{19}-a_{20}|=20|a_{20}-a_1|.
$$
Докажите, что $a_1=a_2= \dots =a_{20}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Назовем точку на декартовой прямоугольной координатной
плоскости узлом сетки, если обе ее координаты — целые числа.
Существует ли такой круг на этой плоскости, строго внутри
которого расположено ровно 2011 узлов сетки?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. а) В треугольнике $ABC$ угол $C$ — острый. Докажите неравенство:
$$
(BC^2 + AC^2 )\cdot \cos(\angle A-\angle B)\leq 2\cdot BC\cdot AC.
$$
б) Найдется ли треугольник $ABC$, для которого это неравенство не выполняется?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В группе из 42 человек каждый знаком, по крайней мере, с 36 людьми из группы. Докажите, что в этой группе найдется компания из 7 человек, в которой все знают друг друга.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Для каждого натурального $n\geq 2$ найдите вес вещественные
решения системы:
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_1|x_1| & = & x_2|x_2|+(x_1-1)|x_1-1|, \\
x_2|x_2| & = & x_3|x_3|+(x_2-1)|x_2-1|, \\
& \dots & \\
x_n|x_n| & = & x_1|x_1|+(x_n-1)|x_n-1|. \\
\end{array}
\right.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Назовем положительное целое число $k$ $\textit{чистым}$, если оно не содержится ни в какой последовательности целых чисел
$c_0$, $c_1$, $c_2$, $\dots$, где $ 0 < c_0 < k$ и при каждом $i>0$ выполняется соотношение
$$
c_i=
\left\{
\begin{array}{rcl}
c_{i-1}/2, \text{ если } c_{i-1} \text{ четно}, \cr
3c_{i-1}-1, \text{ если } c_{i-1} \text{ нечетно}. \cr
\end{array}
\right.
$$
Например, число 10 не является чистым, так как оно содержится в последовательности 5, 14, 7, 20, 10, удовлетворяющей этим условиям.
а) Является ли каждое делящееся на 3 положительное целое число чистым?
б) Докажите, что если целое число $k>1$ чистое, но не делится на 3, то число $k+1$ делится на 6.
комментарий/решение
комментарий/решение