қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Екi үйiндi тастар бар: бiрiншiсiнде — 2012 монеталар, екiншiсiнде — 2021 монеталар бар. Арман мен Бақытжан келесi ойын ойнайды. Бiр жүрiсте ойыншы кез-келген үйiндiден 2, 3 немесе 4 монеталар алады, содан кейiн екiншi үйiндiге 1 монета қосады. Жүрiс жасай алмайтын ойыншы ұтылады. Арман мен Бақытжан кезектесiп жүредi. Арман ойынды бастайды. Ойынды дұрыс ойнағанда кiм жеңедi?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Гипотенузасы $AB$ болатындай $ABC$ тiкбұрышты үшбұрышы берiлсiн. $AB$ гипотенузасының ортасы болатын $D$ нүктесiнен өтетiн түзу $AC$ және $BC$ түзулерiн сәйкесiнше $P$ және $Q$ нүктелерiнде қиып өтедi. $M$ нүктесi $PQ$ кесiндiсiнiң ортасы болсын. $M$ нүктесiне қатысты $D$ нүктесiне симметриялы $R$ нүктесiнен $AB$ гипотенузасына $RF$ перпендикуляры жүргiзiлген. $CM$ түзуi $FCD$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №3. $125 \cdot 2^x-3^y=271$ теңдеуiн қанағаттандыратындай барлық $(x,y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ болатындай $a,$ $b,$ $c$ бүтiн сандар болсын. \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}} \] өрнегiнiң ең кiшi мәнiн табыңыз.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Есеп №5. Коэффициенттері бүтін болатын $P(x)$ көпмүшесі үшін $P(1) = 17,$ $P (m) = m^2 + n^2 -mn,$ $P(n) = mn +1$ теңдіктері орындалады, бұл жерде $m,$ $n$ — бүтiн сандар. Барлық $(m,n)$ бүтін жұптарының табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жазықтықта $ABCD$ төртбұрышы салынған. $X$ нүктесiнен $ABCD$ төртбұрышының осы нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты \[\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}\] санынан аспайтындай осы жазықтықта $X$ нүктесi табылатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)