Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Задача №1.  Имеются две кучки камней: в первой 2012 монет, во второй — 2021 монета. Арман и Бахытжан играют в такую игру. За один ход игрок из любой кучки берёт 2, 3 или 4 монеты, а затем добавляет 1 монету во вторую кучку. Проигрывает тот игрок, который не может сделать ход. Арман и Бахытжан ходят по очереди. Начинает Арман. Кто выигрывает при правильной игре?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB.$ Прямая, проходящая через точку $D,$ середину гипотенузы $AB,$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ соответственно в точках $P$ и $Q.$ Пусть $M$ — середина отрезка $PQ.$ Из точки $R,$ симметричной точке $D$ относительно точки $M,$ проведён перпендикуляр $RF$ на гипотенузу $AB.$ Докажите, что $CM$ является биссектрисой угла $FCD.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $125 \cdot 2^x-3^y=271.$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть $a,$ $b,$ $c$ — положительные целые числа такие, что $20a^2 +21b^2 = 20a +21b.$ Найдите наименьшее значение выражения \[A = \sqrt {\frac{a}{{b(20a + 21)}}} + \sqrt {\frac{b}{{a(20 + 21b)}}} .\]
комментарий/решение(9)
Задача №5.  Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами таков, что $P(1) = 17,$ $P(m) = m^2 + n^2 -mn,$ $P(n) = mn +1,$ где $m,$ $n$ — целые числа. Найти все возможные такие пары целых чисел $(m,n).$
комментарий/решение(1)
Задача №6.  На плоскости нарисован четырёхугольник $ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка $X,$ что квадрат расстояния от точки $X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника $ABCD,$ не превосходит \[\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.\]
комментарий/решение(4)