қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Числа $x$ и $y,$ не равные 0, удовлетворяют неравенствам ${x^2-x > y^2}$ и ${y^2-y > x^2.}$ Какой знак может иметь произведение $xy$ (укажите все возможности)?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. В группе из 79 школьников у каждого не более 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки — знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики — поровну знакомых девочек? Все знакомства — взаимные.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем $k$ Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы $k$ монет лежали «решкой» вверх?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. $CL$ — биссектриса треугольника $ABC.$ $CLBK$ — параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P.$ Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK.$ Докажите, что $AK \ge CL.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)