Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год

Есеп №1. $\Gamma$ шеңбері — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. $BC$ қабырғасында $D$ нүктесі белгіленген. $\Gamma$-ға $A$ нүктесінде жүргізілген жанама $D$ арқылы өтетін және $BA$-ға параллель түзуді $E$ нүктесінде қияды. $CE$ кесіндісі $\Gamma$-ны екінші рет $F$ нүктесінде қисын. Егер $B,$ $D,$ $F,$ $E$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатса, онда $AC,$ $BF,$ $DE$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $r = 2$ саны келесі шартты қанағаттандыратын нақты $r$ санының ең үлкен мәні екенін дәлелдеңіз:
Егер $a_1, a_2, \ldots $ натурал сандар тізбегі үшін $$a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$$ теңсіздіктері барлық натурал $n$ сандары үшін орындалса, онда барлық $n\geq M$ үшін $a_{n+2}=a_n$ болатындай $M$ натурал саны табылады.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық натурал $k$ санын табыңыз:
Әр натурал $n > m$ санын $S$-тің әртүрлі элементтерінің қосындысы ретінде жазудың дәл $k$ әдісі болатындай, натурал сандардан тұратын $S$ жиыны және натурал $m$ саны табылады.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын коэффиценттері бүтін болатын барлық $P(x)$ көпмүшелерін табыңыз: \\ Әр бүтін сан дәл бір рет кездесетін кез келген $a_1 ,a_2 , \ldots $ шексіз бүтін сандар тізбегі үшін, $a_i +a_{i+1} +\ldots +a_j = P(k)$ болатындай $i < j$ индекстері және бүтін $k$ саны табылады.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. $n\geq 3$ натурал саны берілген. Тақтаға 1 саны $n$ рет жазылған. Тақтаның астында екі қорап тұр. Бастапқыда олар бос. Жүріс келесі қадамдардан тұрады: тақтадан екі $a$ және $b$ сандары өшіріледі, олардың орнына $1$ және $a+b$ сандары жазылады, сосын бірінші қорапқа бір тас, ал екінші қорапқа ЕҮОБ$(a,b)$ тас салынады. Бірнеше жүрістен кейін бірінші қорапта $s$ тас, екіншісінде $t$ тас болған. $\dfrac{t}{s}$ қатынасының барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)

---