Бат, Великобритания, 2019 год

Задача №1.  Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ такие, что для любых целых чисел $a$ и $b$ верно равенство $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ точка $A_1$ лежит на отрезке $BC,$ а точка $B_1$ лежит на отрезке $AC.$ Пусть $P$ и $Q$ — точки на отрезках $AA_1$ и $BB_1$ соответственно, такие, что прямая $PQ$ параллельна $AB.$ Точка $P_1,$ лежащая на прямой $PB_1,$ такова, что $B_1$ находится строго между $P$ и $P_1,$ причем $\angle PP_1C=\angle BAC.$ Аналогично, точка $Q_1$, лежащая на прямой $QA_1,$ такова, что $A_1$ находится строго между $Q$ и $Q_1,$ причем $\angle CQ_1Q=\angle CBA.$ Докажите, что точки $P,$ $Q,$ $P_1$ и $Q_1$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В социальной сети 2019 пользователей. Некоторые пользователи дружат с некоторыми другими, при этом отношение дружбы взаимно, то есть если пользователь $A$ дружит с пользователем $B$, то $B$ также дружит с $A$. Перестройки следующего типа производится последовательно, по одной перестройке за раз:
   выбираются три пользователя $A,$ $B$ и $C$ таких, что $A$ дружит и с $B$ и с $C$, но $B$ и $C$ не дружат между собой; после чего $B$ и $C$ становятся друзьями, но $A$ теперь не дружит ни с $B,$ ни с $C.$
   Изначально 1010 пользователей имеют по 1009 друзей, а 1009 пользователей имеют по 1010 друзей. Докажите, что существует последовательность перестроек, после которой каждый пользователь будет иметь не более одного друга.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите все пары $(k,n)$ целых положительных чисел такие, что $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).$
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Банк города Бат выпускает монеты с буквой $H$ на одной стороне и буквой $T$ на другой стороне. Гарри разложил $n$ таких монет в ряд слева направо. Он последовательно производит следующую операцию: если в ряду ровно $k > 0$ монет лежат букой $H$ кверху, то он переворачивает $k$-ю слева монету; иначе все монеты лежат буквой $T$ кверху, и он останавливается. Например, если $n=3$ и процесс начинается с конфигурации $THT,$ то последовательность операций выглядит так $THT \to HHT \to TTT,$ то есть процесс остановится после трех операций.
   a) Докажите, что при любой начальной конфигурации процесс остановится после конечного числа операций.
   b) Для каждой начальной конфигурации $C$ через $L(C)$ обозначим количество операций, после которых процесс остановится. Например, $L(THT) =3$ и $ L(TTT)=0.$ Найдите среднее арифметическое значений $L(C),$ когда $C$ пробегает все $2^n$ возможных начальных конфигураций.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Пусть $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC,$ в котором $AB \ne AC.$ Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается сторон $BC,$ $CA$ и $AB$ в точках $D,$ $E$ и $F$ соответственно. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $EF,$ пересекает $\omega$ вторично в точке $R.$ Прямая $AR$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P.$ Окружности, описанные около треугольников $PCE$ и $PBF,$ пересекаются вторично в точке $Q.$ Докажите, что прямые $DI$ и $PQ$ пересекаются на прямой, проходящей через $A$ и перпендикулярной $AI. $
комментарий/решение(3)

---