қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год
Есеп №1. $\mathbb{Z}^+$ арқылы натурал сандар жиынын белгілейік. Кез келген натурал $a$ және $b$ сандары үшін $a^2 + f(a)f(b)$ саны $f(a) + b$ санына бөлінетіндей барлық $f : \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $m$ саны берілген тұрақты натурал сан. Шексіз $\{a_n \}_{n \ge 1}$ тізбегі келесідей анықталынады: $a_1$ — натурал сан және барлық $n \ge 1$ үшін
$$
a_{n+1} =
\begin{cases}
a_n^2 + 2^m & \text{ егер } a_n < 2^m,\\
a_n/2 & \text{ егер } a_n \ge 2^m.
\end{cases}
$$
Әр $m$ үшін тізбектің барлық мүшелері бүтін сан болатындай $a_1$ санының барлық мүмкін мәндерін анықтаңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген, $\Gamma$ оған сырттай сызылған шеңбер, ал $M$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы. $AM$ кесіндісінде айнымалы $P$ түктесі таңдалып алынады. $BPM$ және $CPM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $\Gamma$-ны екінші рет сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $DP$ және $EP$ түзулері $CPM$ және $BPM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді екінші рет сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. Осылай анықталған барлық $AXY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $A$ нүктесінен өзгеше қандай да бір тұрақты $T$ нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Әр шаршысына бүтін сан жазылған $2018 \times 2019$ тақтасын қарастырайық. Егер екі шаршының ортақ қабырғасы болса, ондай екі шаршыны көрші шаршы деп атаймыз. Әр қадамда сіз қандай да шаршыларды таңдайсыз. Сосын әр таңдалған шаршы үшін оның көршілерінің арифметикалық ортасы есептелінеді. Одан кейін әр есептеуді аяқтағаннан кейін, әр таңдалған шаршыдағы сан оған сәйкес есептелінген арифметикалық ортаға ауыстырылады. Шекті операциялар арқылы тақтадағы барлық сандарды бірдей қылуға әрқашан да болады ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген нақты $x$ және $y$ сандары үшін $f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2 f(xy)$ шартын қанағаттандыратын барлық $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)