қазақша
русскийXVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год
Задача №1. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезке $C_1H$, где $CC_1$ — высота треугольника, отмечена точка $K$. Точки $L$ и $M$ — основания перпендикуляров из точки $K$ на прямые $AC$ и $BC$ соответственно. Прямые $AM$ и $BL$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $\angle ANK=\angle HNL$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{99}$ положительные действительные числа такие, что $ia_j+ja_i\ge i+j$ для всех $1\le i < j \le 99.$ Докажите, что
$(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!.$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Найдите все пары $(a,n)$ натуральных чисел таких, что $\varphi (a^n+n)=2^n.$ ($\varphi(n)$ — функция Эйлера, то есть количество целых чисел от 1 до $n$, взаимно простых с $n$.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом: $a_0=1$ и ${a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt n ]} {{a_{n - {k^2}}}}$ для $n \ge 1.$ Докажите, что среди $a_1,a_2,\ldots,a_{10^6}$ есть хотя бы 500 четных чисел. (Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $x$.)
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)