Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Задача №1.  Сумма обратных величин положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна $1$. Докажите неравенство $\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7)

---

Задача №2.  Дана бесконечная клетчатая бумага с размером клеток $1$ см. В узлах клеток отмечено $2019$ точек так, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками равно натуральному числу сантиметров. Докажите, что больше $333333$ из этих расстояний являются натуральными числами, которые делятся на $3$. ( С. Полянских )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Множество $\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из $\Phi$ по крайней мере $\sqrt{2}$. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной $3$ можно накрыть все точки множества $\Phi$. Из какого наибольшего количества точек может состоять $\Phi$? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Пусть $\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ такие, что для любых $x, y\in\mathbb{Q}$ выполнено равенство $f(x+y)-f(y)=f(f(x-y)+f(y)).$ ( Ильясов С. )
комментарий/решение(5)

---

Задача №5.  В окружности $\omega$ диаметр $AB$ и хорда $CD$ перпендикулярны. Пусть $M$ любая точка отрезка $AC$. Точка $P$ -- основание перпендикуляра из точки $C$ на прямую $BM$. Пусть окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $MPD$, пересекает описанную окружность треугольника $CPB$ во второй раз в точке $Q$ (точки $P$ и $Q$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Прямая $CD$ вторично пересекает $\omega_1$ в точке $N$. Докажите, что $\angle CQN = \angle BPN$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Существуют ли простые числа $p$, $q$ и $r$ такие, что число $\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

---