3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур, 2018 г.

Задача №1. В школе несколько седьмых классов. В каждом из них одно и то же количество учащихся, причем большее 20 и меньшее 30. Известно, что 93 семиклассника этой школы занимаются в кружке олимпиадной математики, что составляет $39\%$ всех учащихся седьмых классов школы с точностью до ближайшего целого. Определите число семиклассников в этой школе. (Например, $53,\!48$ равно 53 с точностью до ближайшего целого; $53,\!8$ равно 54; $53,\!5$ также равно 54.)
комментарий/решение(2)

Задача №2. Имеются числа 2, 0, 1, 8. За один ход разрешается, выбрав произвольно какие-то два имеющиеся числа $x$ и $y$, заменить пару чисел $(x, y)$ на одну из пар $(x + 1, y + 1),$ $(x + 1, y - 1),$ $(x-1 ,y + 1),$ $(x - 1, y - 1).$ Можно ли за конечное число ходов из исходного набора чисел получить 4 одинаковых числа?
комментарий/решение(2)

Задача №3. На графике обратной пропорциональной зависимости $y=\frac{k}{x}$ $\left( k>0 \right)$ в первой четверти взяты три точки $A,\,B,\,C$ так, что площади трех образовавшихся прямоугольников равны $10\,\text{см}^2,$ $20\,\text{см}^2,$ $30\,\text{см}^2$ (см. рисунок ниже).
а) Определите площади прямоугольников $R$ и $S$.
б) Определите значение $k$, если известно, что площадь $T=40\,\text{см}^2$.

комментарий/решение

Задача №4. Трехзначное число назовем удивительным, если у него количество натуральных четных делителей совпадает с количеством натуральных делителей, кратных 3. Найдите наибольшее количество последовательных удивительных трехзначных чисел. (Последовательные числа, это целые числа, каждое из которых больше предыдущего на единицу, например 5, 6, 7.)
комментарий/решение(1)

Задача №5. Имеется ребус: КІТАП$+$КІТАП$+$КІТАП$=$БІЛІМ. Одно из его решений: $10269 + 10269 + 10269 = 30807.$ Найдите как можно больше из оставшихся шести его решений. (Здесь разные буквы обозначают различные цифры, а одинаковые буквы — одинаковые цифры.)
комментарий/решение(1)