1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Городские олимпиады
  4. Олимпиада им. Смагулова (6-7 классы)
  5. 2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова (2017-2018 у.г.)
  6. 7 класс, 1 тур

2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2017 г.


Задача №1.  Пусть $S=\underbrace{999\ldots 9}_{100\text{ девяток}}:99.$ Найдите сумму цифр числа $S.$
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все пары чисел $\left( a;b \right)$, для которых выполнено равенство: ${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2a-1.$
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Произведение четырех различных натуральных чисел равно 100. Чему равна их сумма?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  На олимпиаде ученику было предложено 20 задач; 10 из них оцениваются в 2 балла, остальные в 3 балла. До появления результатов, ученик думал, что набрал 26 баллов, перепутав баллы за задачи: двухбалльные он посчитал как за трехбалльные, а трехбалльные как двухбалльные. Но в итоге у него оказалось 24 балла. Сколько всего задач он решил на олимпиаде (общее количество двухбалльных и трехбалльных задач)?
комментарий/решение(2)
Задача №5.  В треугольнике $ABC$ его медиана $MC$ равна стороне $AB.$ Пусть $D$ – середина отрезка $MC.$ Найдите угол $ADB.$
комментарий/решение(4)
Задача №6.  Чтобы получить число $a$, число $b$ нужно возвести в куб, чтобы получить число $b$, число $c$ нужно возвести в квадрат. В какую степень нужно возвести $c$, чтобы получить $a$?
комментарий/решение(4)
Задача №7.  Приведите пример двухзначного числа, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84.
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Из 101 далматинца у 29-ти пятно только на левом ухе, у 17-ти — только на правом ухе, а у 22 далматинцев нет пятен на ушах. Сколько далматинцев имеют пятно на правом ухе?
комментарий/решение(2)
Задача №9.  Отрезок $AB$ пересечен ломаной линией, как показано на рисунке. При этом получилось 5 квадратов. Чему равна длина ломаной $A{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{10}}B$, если длина $AB$ равна 10 см?


комментарий/решение(5)
Задача №10.  Прямоугольная таблица горизонтальными и вертикальными прямыми разбита на единичные клетки, и в каждую клетку записано по одному числу. В таблице 8 столбцов, сумма чисел в каждом столбце равна 10, а в каждой строке равна 20. Сколько в таблице строк?
комментарий/решение
Задача №11.  Четверо кузнецов должны подковать 5 лошадей. За какое наименьшее время они могут это сделать, если на одну подкову один кузнец затрачивает 5 минут, а лошадь не может стоять на двух ногах?
комментарий/решение(11)
Задача №12.  Числитель дроби увеличили на $50\%$. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла втрое?
комментарий/решение(2)
Задача №13.  Чему равно минимальное значение функции $f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+2017$.
комментарий/решение(1)
Задача №14.  Сколько натуральных пар $\left( x;y \right)$ удовлетворяют уравнению $x\cdot {{y}^{2}}={{2}^{2017}}$.
комментарий/решение(2)
Задача №15.  Если к натуральному числу $n$ прибавить сумму его цифр, то получится 2018. Найдите все такие $n$.
комментарий/решение(1)
Задача №16.  Обозначим через $n!$ произведение всех натуральных чисел от 1 до $n.$ Вася заметил, что все числа $n!,$ $(n+1)!,$ $(n+2)!,$ $(n+3)!$ и $(n+4)!$ оканчиваются четырьмя ноликами. Сколькими ноликами оканчивается число $\left( n+5 \right)!$?
комментарий/решение(2)
Задача №17.  Целое число $n$ имеет два натуральных делителя, а число $n+1$ – три натуральных делителя. Сколько натуральных делителей имеет число $n+2$?
комментарий/решение(12)
Задача №18.  Два велосипедиста одновременно выезжают навстречу друг другу со скоростями 11 и 14 км/час. В момент выезда расстояние между велосипедистами 75 км. В этот же момент вместе с одним из велосипедистов вылетает муха со скоростью 15 км/час и летит на встречу со вторым велосипедистом, встретившись со вторым велосипедистом, она разворачивается и летит к первому велосипедисту. Затем она снова разворачивается, и так она летает между велосипедистами до момента их встречи. Сколько км пролетела эта муха?
комментарий/решение(1)
Задача №19.  Чему равен угол между диагоналями граней куба, изображенными на рисунке ниже?


комментарий/решение(1)
Задача №20.  На одной прямой отметили 9 точек, а на другой прямой также отметили 9 точек, и, точку пересечения этих прямых, отметили как 19-ю точку. Сколько имеется треугольников с вершинами в данных точках?
комментарий/решение