5-я Жаутыковская олимпиада (2009), экспериментальный тур

Сила сопротивления воздуха

Сила сопротивления воздуха, действующая на движущееся тело, зависит от его скорости довольно сложным образом. Для её расчета часто используются приближенные формулы: $$F=\beta_1\vartheta, \quad (1)$$ $$F=\beta_2\vartheta^2, \quad (2)$$ где $\beta_1$, $\beta_2$ — некоторые постоянные коэффициенты, зависящие от формы и размеров тела, $\vartheta$ — скорость тела.
В данной работе необходимо экспериментально установить, какой из законов $(1)$ или $(2)$ точнее описывает зависимость силы сопротивления, действующей на шарик, от его скорости. Для этого предлагается исследовать затухание колебаний маятника, в котором в качестве грузов используются шарики.
Экспериментальная установка
Приборы и принадлежности: штатив с лапкой, нить, линейка, мерная лента, теннисный шарик, пластилин, скотч. Закрепите нить с прикрепленным шариком в лапке штатива. Расположите штатив на краю стола, так чтобы нить с шариком свисала рядом с торцом стола, на котором с помощью скотча закрепите линейку. Точка подвеса маятника должна располагаться на высоте $h=50\widetilde{n}i$ над линейкой, длина нити (от точки подвеса до шарика) должна быть $L=60\widetilde{n}i$. В качестве измеряемых величин используются: $x$ — отклонение нити, измеренное по линейке; $\varphi$ — угол отклонения.

Часть 1. Потеря энергии за один период. В данной части работы используйте теннисный шарик.
1.1 Покажите, что если сила сопротивления воздуха зависит от скорости по закону $$F=\beta\vartheta^{n},$$ то потери механической энергии шарика за один период колебаний при слабом затухании равны $$\Delta E=-CE_0^{\frac{n+1}{2}},\quad (3)$$ где $E_0$ — начальная энергия шарика, $C$ — постоянная.
1.2 Покажите, что механическая энергия шарика $E$ в крайнем положении пропорциональна $(1-\cos\varphi)$. Далее следует измерять энергию шарика в относительных единицах, считая, что потенциальная энергия шарика определяется формулой $$E=1-\cos\varphi.\quad (4)$$
1.3 Пусть начальное отклонение нити равно $x_0$, а отклонение нити после одного колебания $x_1$. Измерьте зависимость отклонения нити после одного колебания $x_1$ от начального отклонения $x_0$. Измерения значений $x_1$ при каждом значении $x_0$ следует проводить не менее $3$ раз. Используя полученные данные, рассчитайте начальную энергию шарика и ее потерю за один период колебаний. Результаты измерений и расчетов занесите в Таблицу $1$. Постройте график зависимости потерь энергии за один период от начальной энергии шарика $\Delta E(E_0)$

1.4 Используя формулу $(3)$, линеаризуйте зависимость $\Delta E(E_0)$. То есть найдите такие преобразования переменных $$\xi=f_1(\Delta E),$$ $$\eta=f_2(E_0),$$ чтобы зависимость $\xi(\eta)$ была линейной. Постройте график этой зависимости $\xi(\eta)$. Определите показатель степени $n$ в формуле для силы сопротивления воздуха. 1.5 Укажите, какая из формул $(1)$ или $(2)$ точнее описывает полученные данные.
Часть 2. Затухание колебаний. В данной части работы используйте теннисный шарик. Можно показать, что при силе сопротивления, описываемой формулой $(1)$, отклонения нити после $k$ колебаний описывается формулой $$x_{k}=x_0\lambda^{k}, \quad (5)$$ где $\lambda$ — постоянная величина. При силе сопротивления, описываемой формулой $(2)$, закон затухания имеет вид $$x_{k}=\frac{x_0}{1+Bx_0k}, \quad (6)$$ где $B$ — постоянная величина.
2.1 Измерьте зависимость отклонения нити $x_{k}$ от числа совершенных колебаний, при фиксированном начальном отклонении $x_0=25\widetilde{n}i$, от числа совершенных колебаний $k$. Результаты измерений занесите в Таблицу $2$.

2.2 Определите, какой из законов затухания $(5)$ или $(6)$, точнее описывает экспериментальные данные.
2.3 Укажите, какая из формул $(1)$ или $(2)$ точнее описывает полученные данные.
Часть 3. Затухание колебаний. В данной части работы используйте шарик из пластилина. Колебания маятника с пластилиновым шариком затухают значительно медленнее, поэтому провести измерения отклонений после каждого колебания затруднительно. Поэтому в данной части работы вам необходимо измерить число колебаний $k$, за которое отклонения уменьшаются до определенных значений $x_{k}$.
3.1 Проведите измерения числа колебаний $n$ в течение которых отклонения маятника уменьшаются от $x_0=20\widetilde{n}i$ до $x_{k}=19,18,...\widetilde{n}i$.
Результаты измерений занесите в Таблицу $3$. Постройте график зависимости отклонения маятника $x_{k}$ от числа совершенных колебаний.

3.2 Используя полученные экспериментальные данные, определите, какой из законов затухания $(5)$ или $(6)$, в данном случае точнее описывает экспериментальные данные.
3.3 Укажите, какая из формул $(1)$ или $(2)$ точнее описывает полученные данные.
комментарий/решение

---