қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что для любых вещественных положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
$$
\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le \sqrt[3]{2(a+b)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}.
$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все натуральные числа $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие равенству $a!+2002b! = c!$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются друг друга внутренним образом (радиус $\omega_1$ меньше радиуса $\omega_2)$ в точке $A$. К окружности $\omega_1$ проведена касательная $l$, параллельная прямой, проходящей через центры окружностей. $l$ касается $\omega_1$ в точке $B$ и пересекает окружность $\omega_2$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $AB$ является биссектрисой угла $CAD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В трех школах учатся по 200 школьников в каждой. У каждого школьника имеется как минимум один друг в каждой школе (если школьник $a$ является другом школьника $b$, то $b$ является другом $a$). Известно, что существует множество $\Sigma $, состоящее из 300 школьников, такое что для любой школы $S$ и любых двух школьников $x$, $y\in \Sigma $ которые не учатся в школе $S$, число друзей в школе $S$ для $x$ и $y$ различны. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Решите следующую систему уравнений в вещественных положительных числах:
$$
\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} +x_{2} + \dots +x_{n} =9,} \\
{\frac{1}{x_{1} }+\frac{1}{x_{2} }+ \dots +\frac{1}{x_{n} }=1.} \\
\end{array} }} \right.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(xf(y)+x)=xy+f(x)$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №7. В треугольнике $ABC$ длины всех сторон являются целыми числами, а радиус вписанной окружности равен 1. Докажите, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Дана колода из 52 карт над которыми разрешается проводить следующие операции:
а) менять местами первые две карты;
б) переставлять первую карту на последнее место.
Докажите, что используя эти операции можно расставить карты в произвольном порядке.
комментарий/решение
комментарий/решение