қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющие условию
$f(x-f(y))=1-x-y,$ для любых вещественных $x$ и $y$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a + b + c = 1$.
Доказать справедливость неравенства
$$\sqrt{3a+b+1}+\sqrt{3b+c+1}+\sqrt{3c+a+1}\leq \sqrt{21}.$$
комментарий/решение(13)
комментарий/решение(13)
Задача №3. Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $BD$.
Пусть $F$ симметрично $A$ относительно $BD$, а $N$ — точка пересечения $AF$ и $BD$.
Прямая, проходящая через $N$ и параллельно $AC$, пересекается с прямыми
$CD$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно.
Докажите, что точки $P$, $C$, $Q$ и $F$ — вершины прямоугольника.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Дана последовательность $x_1, x_2, \dots , x_n$
состоящая из чисел $0,\ 1,\ 2,\ 3$. Для любого $i=1$, $2$, $\dots$, $n-1$, $\overline{x_ix_{i+1}}$
не принимает ни одно из следующих значений: 12, 13, 32 и 33.
Сколько всего существует таких последовательностей?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр вписанной окружности.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №7. Клетка клетчатой доски $7\times 7$ называется $\textit{плохой}$,
если удалив ее оставшуюся часть нельзя будет замостить пятнадцатью фигурками вида 
и одной фигуркой вида 
. Укажите все $\textit{плохие}$ клетки.
комментарий/решение(1)
и одной фигуркой вида . Укажите все $\textit{плохие}$ клетки.
комментарий/решение(1)
Задача №8. Дан многочлен $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n$, где
$0 \leq a_i \leq a_0$, $i=1$, $2$, $\dots$, $n$.
Пусть $a$ — коэффициент многочлена $(P(x))^2$ при $x^{n+1}$. Докажите, что $2a\leq (P(1))^2$.
комментарий/решение
комментарий/решение