Областная олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс


Задача №1.  Докажите, что любое натуральное число представимо в виде $x^2-y^2+z^2$, где $x$, $y$, $z$ — натуральные числа.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В каждой клетке таблицы $3\times 3$ написаны действительные числа. Элемент, стоящий на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, равен модулю разности между суммой чисел $i$-й строки и суммой чисел $j$-го столбца $(i,j=1, 2, 3)$. Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь двух других элементов.
комментарий/решение
Задача №3.  В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ произвольным образом выбрана точка $D$. Пусть $E$ и $F$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на стороны $AB$ и $AC$, соответственно. Докажите, что $$ \frac{4S^2}{AC^2+AB^2}\leq DE^2+DF^2\leq \max(h_b^2, h_c^2), $$ где $S$ — площадь треугольника, $h_b$ и $h_c$ — длины высот, опущенных из вершин $B$ и $C$, соответственно.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Три ученика $A$, $B$ и $C$ сдают тесты для поступления в лицей. Тесты проводятся в несколько туров. В каждом туре определяются самый лучший, средний и плохой результаты. За самый лучший результат дается $x$ очков, средний $y$ очков а плохой — $z$ очков, где $x>y>z$ — натуральные числа. В результате всех туров $A$ набрал 22 очка, $B$ и $C$ по 9 очков каждый. Известно, что в первом туре ученик $B$ показал самый лучший результат. Сколько было проведено туров, и как в каждом туре были распределены места?
комментарий/решение
Задача №5.  Сумма трех целых чисел $a, b, c$ делится на 3. Докажите, что $a^2+b^2+c^2+((a-b)(b-c)(c-a))^2$ также делится на 3.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $$ \left|\frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|\leq \frac{1}{2}. $$
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Докажите, что в четырехугольнике $ABCD$ по крайней мере две стороны параллельны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников $ABD$ и $BCD$ равно произведению площадей треугольников $ABC$ и $ACD$.
комментарий/решение
Задача №8.  Клетка клетчатой доски $7\times 7$ называется $\textit{плохой}$, если удалив ее оставшуюся часть нельзя будет замостить пятнадцатью фигурками вида и одной фигуркой вида . Укажите все $\textit{плохие}$ клетки.
комментарий/решение(1)