қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b+c = 1$ и $a^2+b^2+c^2 = 2n+1$ ($n$ — натуральное число). Докажите, что $a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на $n.$
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Среди десяти человек ровно один лжец и 9 рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждому из них дали карточку с натуральным числом от 1 до 10, причем все числа на карточках различны. Любому можно задать вопрос: «Верно ли, что на твоей карточке написано число $M$?» ($M$ может быть только натуральным числом от 1 до 10). Верно ли, что за 17 таких вопросов можно гарантированно найти лжеца?
(
О. Подлипский
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Из клетчатой доски размером $70 \times 70$ вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC = AD$ и $AE = 2CD$. Докажите, что $\angle CDE = \angle BEF.$
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)