қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс
Задача №1. В равнобокой трапеции $ABCD$ точка $O$ — середина основания $AD$. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $BO$ касается прямой $AB$. Пусть отрезок $AC$ пересекает эту окружность в точке $K$ ($C \ne K$), и пусть $M$ такая точка, что $ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника $CMD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$ $(L \ne C)$. Докажите, что $AK=CL$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дано натуральное число $m\geq2.$ Последовательность натуральных чисел $(b_0,b_1,\ldots,b_m)$ назовем вогнутой, если $b_k+b_{k-2}\le2b_{k-1}$ для всех $2\le k\le m.$ Докажите, что существует не более $2^m$ вогнутых последовательностей, начинающихся с $b_0=1$ и $b_1=2.$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных $m$ и $n$ выполнено равенство $f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дано множество $S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$. Пусть $a$ и $n$ натуральные числа такие, что $a+2^k\in S$ для каждого $k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение $n.$
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ такая, что $\angle AMB=\angle ADM+\angle BCM$ и $\angle AMD=\angle ABM+\angle DCM.$ Докажите, что $AM\cdot CM+BM\cdot DM\ge \sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)