Районная олимпиада, 2017-2018 учебный год, 9 класс


Задача №1.  Имеется 11 шаров – 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, есть ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Как с помощью не более чем 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, удовлетворяющие при всех $x\in \mathbb{R}$, равенствам $P(Q(x))={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+7$ и $Q\left( x-1 \right)={{x}^{2}}-2x-1.$
комментарий/решение(4)
Задача №3.  Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см 10 см и 20 см (например, такой получится, если склеить два кубика со стороной 10 см). Посадим теперь на одну из вершин параллелепипеда божью коровку (см. рисунок). Будем считать, что она не хочет лететь, а хочет ползти по поверхности, причем во все стороны ползет с постоянной скоростью. Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет?


комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $K$, а на отрезке $CK$ – точка $L$ так, что $AK=KL=\frac{1}{2}KB.$ Известно, что $\angle CAB=45{}^\circ ,$ $\angle CKB=60{}^\circ .$ Доказать, что $AL=BL=CL.$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Число $A=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+x-6}+\sqrt{-{{x}^{2}}-x+6}}{|x-2|}+{{\left( 5+x \right)}^{2017}}$ является целым числом. Найдите последние две цифры числа $A$.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Сколькими способами можно представить число 2017 в виде суммы нескольких слагаемых (больше одного), расположенных в неубывающем порядке, причём разность между последним и первым слагаемыми не должна превышать 1.
комментарий/решение(4)