1-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2014 год, вторая лига

Задача №1. Дан прямоугольный треугольник с углами $\angle A=90^\circ$ и $\angle C=30^\circ$. Обозначим через $\Gamma$ окружность, проходящую через точку $A$ и касающуюся отрезка $BC$ в его середине. Пусть $\Gamma$ пересекает отрезок $AC$ в точке $N$, а описанную окружность $\triangle ABC$ во второй раз точке $M$. Докажите, что $MN \perp BC$.
комментарий/решение(3)

Задача №2. четырехугольнике $ABCD \ $ $\angle B=\angle D = 60^\circ$. Пусть точка $M$ — середина стороны $AD$, а точка $P$ взята на прямой $BC$ так, что $PM \parallel CD$. Рассмотрим точку $X$, лежащую на прямой $CD$, такую, что $BX=MX$. Докажите, что $AB=BP$ тогда и только тогда, когда $\angle MXB=60^\circ$.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружность $\Gamma$, с диаметром $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ и $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $EF$. Пусть $XY$ — хорда окружности $\Gamma$ (точка $X$ лежит на дуге $EF$), проходящая через точку $P$. Докажите равенство $\angle XAY = \angle XYM$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Касательная прямая в точке $A$ к описанной окружности $\Gamma$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AC > AB$) пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Пусть $O$ — центр $\Gamma$. $X$ — точка прямой $OP$ такая, что $\angle AXP = 90^\circ$. На прямых $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $OP$ и $\angle EXP = \angle ACX,$ $\angle FXO = \angle ABX.$ Обозначим через $K$ и $L$ точки пересечения прямой $EF$ с окружностью $\Gamma$. Докажите, что прямая $OP$ касается описанной окружности $\triangle KLX$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Точки $P$ и $Q$ выбраны на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что расстояния от этих точек до середины $BC$ равны. Перпендикуляры к $BC$, восстановленные в точках $P$ и $Q$, пересекают прямые $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $PF$ и $EQ$ пересекаются в точке $M$. Пусть $H_1$ и $H_2$ являются точками пересечения высот треугольников $BFP$ и $CEQ$ соответственно. Докажите, что $AM \perp H_1H_2$.
комментарий/решение(1)