Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год


Задача №1.  Найдите наименьшее натуральное $m$ такое, что $105|9^{ p^2}-29^p+m$ при любом простом $p > 3$.
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что среди любых $n\geq 3$ вершин правильного $(2n-1)$-угольника можно найти $3$, являющиеся вершинами равнобедренного треугольника.
комментарий/решение
Задача №3.  $A$ — $n$-элементное множество. $A_1, A_2, \ldots A_k$ — такие подмножества $A$, что любые $2$ различных подмножества $A_i, A_j$ либо не пересекаются, либо одно из них полностью содержит другое. Найдите наибольшее возможное значение $k$.
комментарий/решение
Задача №4.  Точка $P$ лежит внутри $\Delta ABC$, $\omega $ — описанная окружность $\Delta ABC $. $BP \cap \omega = \left\{ B,B_1 \right\}$, $CP \cap \omega = \left\{ C,C_1 \right\}$, $PE \bot AC$, $PF \bot AB$. Радиусы вписанной и описанной окружностей $\Delta ABC $ обозначим через $r,R$. Докажите, что $\frac{{EF}}{{{B_1}{C_1}}} \geq \frac{r}{R}$.
комментарий/решение
Задача №5.  $O$ и $H$ — центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного $\Delta ABC$, соответственно. $F$ — середина $AO$, $AD \bot BC$, $EF$ — серединный перпендикуляр $AO$ ($D,E$ лежат на $BC$). Докажите, что описанная окружность $\Delta ADE$ проходит через середину $OH$.
комментарий/решение
Задача №6.  Определим последовательность $\{a_n\}$ следующим образом: $a_0=\frac{1}{2},$ $a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}$ $(n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots).$ Найдите целое $k$, для которого верны неравенства $a_{k} < 1 < a_{k+1}.$
комментарий/решение
Задача №7.  Дано натуральное $n\geq 2$. Рассмотрим таблицу $n\times n$, заполненную единицами. Разрешается проделывать следующую операцию: выбирать какую-то клетку и менять знак у чисел в клетках, соседних с выбранной по стороне. Найдите все такие $n$, для которых за конечное число операций можно сделать все числа в таблице равными $-1$.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все такие простые $p$, что существует бесконечно много натуральных $n$, удовлетворяющих $p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$
комментарий/решение