Западно-Китайская математическая олимпиада, 2010 год


Задача №1.  $m$ и $k$ — неотрицательные целые, а $p = 2^{2^m}+1$ — простое. Докажите, что
(a) $2^{2^{m+1}p^k} \equiv \pmod {p^{k+1}}$;
(b) $2^{m+1}p^k$ является наименьшим натуральным $n$, удовлетворяющим сравнению $2^n \equiv 1 \pmod {p^{k+1}}$.
комментарий/решение
Задача №2.  $AB$ — диаметр окружности с центром $O$. На этой окружности, с одной стороны от $AB$, взяты точки $C$ и $D$. Касательные к окружности в точках $C$ и $D$ пересекаются в $E$. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в $F$. Прямые $EF$ и $AB$ пересекаются в $M$. Докажите, что $E,C,M$ и $D$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №3.  Найдите все такие натуральные $n$, что существуют $n$ различных 3-элементных подмножеств $A_1,A_2, \ldots ,A_n$ множества $\{1,2, \ldots ,n\}$, для которых $|A_i \cap A_j| \not= 1$ при любых $i \not= j$.
комментарий/решение
Задача №4.  Даны неотрицательные числа $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2, \ldots ,b_n$, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = 1$;
(ii) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i(a_i - b_i) = 0$;
(iii) $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2(a_i + b_i) = 10$.
Докажите, что $\text{max}\{a_k,b_k\} \le \dfrac{10}{10+k^2}$ при любых $1 \le k \le n$.
комментарий/решение
Задача №5.  Дано целое $k > 1$. Определим последовательность $\{a_n\}$ следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, и $a_{n+1} = ka_n + a_{n-1}$ при $n = 1,2, \ldots $. При каких значениях $k$ существуют неотрицательные целые $l,m (l \not= m)$ и натуральные $p,q$ такие, что $a_l + ka_p = a_m + ka_q$.
комментарий/решение
Задача №6.  В $\Delta ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$. Построена окружность с центром в $B$ и радиусом $BC$. На стороне $AC$ взята точка $D$. $DE$ — касательная к окружности (точка $E$ лежит на ней). Перпендикуляр из $C$ к прямой $AB$ пересекает $BE$ в $F$. Прямая $AF$ пересекает $DE$ в $G$. Прямая, проходящая через $A$ и параллельная $BG$, пересекает $DE$ в $H$. Докажите, что $GE = GH$.
комментарий/решение
Задача №7.  $(n \ge 3)$ игроков участвуют в круговом турнире по теннису (т.е. проводятся матчи между каждыми двумя игроками; ничей не бывает). Будем говорить, что игрок $A$ непревзойден игроком $B$, если хотя бы один из проигравших $A$ игроков не проиграл $B$. Определите все возможные значения $n$, при которых возможна такая ситуация: после окончания всех матчей, каждый игрок непревзойден всеми остальными.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все целые $k$ для которых существуют натуральные $a$ и $b$ такие, что $\dfrac{b+1}{a} + \dfrac{a+1}{b} = k$.
комментарий/решение