Западно-Китайская математическая олимпиада, 2009 год


Задача №1.  Из множества действительных чисел выбросили какое-то конечное число элементов и получили множество $M$. Докажите, что для любого натурального $n$ существует многочлен $f(x)$ степени $n$ такой, что все коэффициенты и $n$ действительных корней $f$ лежат в $M$.
комментарий/решение
Задача №2.  Дано целое $n\ge\ 3$. Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что существует $k$-элементное множество $A$ и $n$ различных действительных $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$, для которых числа $x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3},\ldots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ лежат в $A$.
комментарий/решение
Задача №3.  $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$ и $D$ — середина $BC$. Прямая, проходящая через $H$ пересекает $AB,AC$ в $F,E$, соответственно, причем $AE=AF$. Луч $DH$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$ в точке $P$. Докажите, что $P,A,E,F$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что для любого натурального $k$ существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что числа $2^{n}+3^{n}-1, 2^{n}+3^{n}-2,\ldots, 2^{n}+3^{n}-k$ являются составными.
комментарий/решение
Задача №5.  Определим последовательность $(x_{n})_{n\geq 1}$ следующим образом: $x_{1}\in\left\{5,7\right\}$, а при $k\ge 1$, $x_{k+1}\in\left\{5^{x_{k}},7^{x_{k}}\right\}$. На какие две цифры может оканчиваться число $x_{2009}$?
комментарий/решение
Задача №6.  $D$ — точка на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, построенная на $BD$ как на диаметре, пересекает $AB,AD$ в $X,P$ (отличных от $B,D$), соответственно. Окружность, построенная на $CD$ как на диаметре, пересекает $AC,AD$ в $Y,Q$ (отличных от $C,D$), соответственно. $M,N$ — проекции точки $A$ на $PX,QY$, соответственно. Докажите, что $\triangle AMN$ подобен $\triangle ABC$ тогда и только тогда, когда $AD$ проходит через центр описанной окружности $\triangle ABC$.
комментарий/решение
Задача №7.  $n > 12$ школьников участвуют в олимпиаде по математике, на которой предлагаются $15$ задач. За правильное решение каждой задачи дается $1$ балл, а за неправильное — $0$ баллов. Найдите наименьшее $n$, при котором если любые $12$ школьников в сумме набрали хотя бы $36$ баллов, то найдутся $3$ школьника, среди решенных задач которых есть хотя бы $3$ общие.
комментарий/решение
Задача №8.  Действительные числа $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$, где $n\ge 3$, удовлетворяют условиям: $\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = 0$ и $2a_{k}\le\ a_{k-1}+a_{k+1}$ при $k=2,3,\ldots ,n-1$. Найдите наименьшее $f(n)$ такое, что для всех $k\in\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$ выполняется неравенство $|a_{k}|\le f(n)\max\left\{|a_{1}|,|a_{n}|\right\}.$
комментарий/решение