Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год


Задача №1.  Последовательность действительных чисел $ \{a_{n}\}$ определена следующим образом: $ a_{0}\neq 0,1$, $ a_1=1-a_0$,$ a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$, $ n=1,2, \ldots $. Докажите, что для любого натурального $ n$ выполняется равенство $ a_{0}a_{1} \ldots a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+ \ldots +\frac{1}{a_n})=1.$
комментарий/решение
Задача №2.  В треугольнике $ ABC$, $ AB=AC$, вписанная окружность $ I$ касается $ BC, CA, AB$ в точках $ D,E$ и $ F$, соответственно. Точка $ P$ лежит на дуге $ EF$, не содержащей точку $ D$. Прямая $ BP$ пересекает окружность $ I$ во второй раз в точке $ Q$, прямые $ EP$, $ EQ$ пересекают $ BC$ в $ M, N$, соответственно. Докажите, что
(1) $ P, F, B, M$ лежат на одной окружности
(2) $ \frac{EM}{EN} = \frac{BD}{BP}$
комментарий/решение
Задача №3.  Даны натуральные $ m\geq$ 2 и $ a_1,a_2, \ldots a_m$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $ n$ таких, что $ a_{1}1^{n} + a_{2}2^{n} + \ldots + a_{m}m^{n}$ — составное.
комментарий/решение
Задача №4.  Дано целое $ m\geq 2$ и действительные $ a,b$ ($ a > 0$ и $ b\neq 0$). Последовательность $ \{x_n\}$ такова, что $ x_1 = b$ и $ x_{n + 1} = ax^{m}_{n} + b$, $ n = 1,2, \ldots $. Докажите, что
(1) при $ b < 0$ и четном $ m$, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда $ ab^{m - 1}\geq - 2$;
(2) при $ b < 0$ и нечетном $ m$, или при $ b > 0$ последовательность ограничена тогда и только тогда, когда $ ab^{m - 1}\geq\frac {(m - 1)^{m - 1}}{m^m}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Четыре лягушки сидят в четырех точках на прямой так, что расстояние между любыми двумя соседними лягушками равно 1. Каждая лягушка может прыгнуть в точку, симметричную своему текущему положению относительно любой из трех других лягушек. Докажите, что после любого количества прыжков не может получиться так, что расстояние между любыми двумя соседними лягушками равно 2008.
комментарий/решение
Задача №6.  Даны $ x,y,z\in (0,1)$ такие, что $ \sqrt{\frac{1 - x}{yz}} + \sqrt{\frac{1 - y}{xz}} + \sqrt{\frac{1 - z}{xy}} = 2$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $ xyz$.
комментарий/решение
Задача №7.  Для данного натурального $n$, найдите наибольшее натуральное $k$ такое, что существуют три множества, содержащих по $k$ различных неотрицательных целых чисел, $A=\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}, B=\{y_1,y_2,\ldots,y_k\}$ и $C=\{z_1,z_2,\ldots,z_k\}$, причем $ x_j+y_j+z_j=n$ для всех $ 1\leq j\leq k$.
комментарий/решение
Задача №8.  Внутри правильного $ n$-угольника $ A_1 A_2 \ldots A_n$ выбрана точка $ P$, прямая $ A_i P$ пересекает $ n$-угольник во второй раз в точке $ B_i$, где $ i=1,2, \ldots ,n$. Докажите, сумма длин отрезков $ PA_i$ не меньше суммы длин отрезков $ PB_i$.
комментарий/решение