Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год


Задача №1.  Найдите все целые $ n$ для которых число $ N= n^4 + 6n^3 + 11n^2 +3n+31$ является полным квадратом.
комментарий/решение
Задача №2.  Дан выпуклый четырехугольник $ ABCD$. $ I_1$ и $ I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $ ABC$ и $ DBC$, соответственно. Прямая $ I_1I_2$ пересекает прямые $ AB$ и $ DC$ в точках $ E$ и $ F$, соответственно. Прямые $ AB$ и $ CD$ пересекаются в точке $ P$. Известно, что $ PE=PF$. Докажите, что $ ABCD$ — вписанный.
комментарий/решение
Задача №3.  Найдите все действительные $ k$ такие, что неравенство $ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1\geq k(a + b + c + d)$ выполняется для всех $ a,b,c,d\geq - 1$.
комментарий/решение
Задача №4.  Через $ d(n)$ будем обозначать количество делителей натурального числа $ n$, а через $ \varphi(n)$ — функцию Эйлера (количество натуральных чисел, меньших и взаимно простых с $ n$). Найдите все целые неотрицательные числа $ c$, для которых существует натуральное $ n$ такое, что $ d(n) + \varphi(n) = n+c$, и для каждого такого $ c$ найдите все значения $ n$, удовлетворяющие этому условию.
комментарий/решение
Задача №5.  Последовательность $ \{a_n\}_{n}$ задана следующим образом: $ a_1=a_2=1$ и $ a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n$ для всех натуральных $ n$. Найдите $ a_{2004}$.
комментарий/решение
Задача №6.  Все поля доски $ m\times n$ ($m,n\geq 3$) покрашены в красный и синий цвета. Два соседних по стороне поля называются "хорошей парой", если они имеют различные цвета. Предположим, что всего есть $ S$ хороших пар. Объясните, как узнать четность $ S$. Определяется ли она цветами каких-то конкретных полей?
комментарий/решение
Задача №7.  Пусть $ \ell$ — периметр неправильного остроугольного треугольника $ ABC$. Внутри треугольника $ ABC$ дана точка $ P$. Пусть $ D,E,F$ — проекции $ P$ на стороны $ BC,CA,AB$, соответственно. Докажите, что $ 2(AF+BD+CE ) = \ell$ тогда и только тогда, когда $ P$ лежит на прямой, содержащей центры вписанной и описанной окружностей треугольника $ ABC$.
комментарий/решение
Задача №8.  Для положительных чисел $ a,b,c$ докажите неравенство: \[ 1 < \frac {a}{\sqrt {a^{2} + b^{2}}} + \frac {b}{\sqrt {b^{2} + c^{2}}} + \frac {c}{\sqrt {c^{2} + a^{2}}}\leq\frac {3\sqrt {2}}{2}.\]
комментарий/решение