Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год


Задача №1.  Числа $ 1, 2, \ldots, 8$ расставлены в вершинах куба так, что сумма любых трех чисел на любой грани не меньше $ 10$. Найдите наименьшую возможную сумму всех четырех чисел, стоящих в вершинах одной из граней.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть $ a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ — действительные числа, удовлетворяющие условию $\sum\limits_{i = 1}^{2n - 1} {{{\left( {{a_{i + 1}} - {a_i}} \right)}^2}} = 1$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $ (a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$.
комментарий/решение
Задача №3.  Дано натуральное $ n$. Найдите наименьшее натуральное $ u_n$ такое, что для любого натурального $ d$ среди любых $ u_n$ последовательных натуральных нечетных чисел, кратных $ d$ не меньше, чем кратных $ d$ во множестве $ 1, 3, 5, \ldots, 2n - 1$.
комментарий/решение
Задача №4.  Сумма расстояний от точки $ P$, которая лежит внутри выпуклого четырехугольника $ ABCD$, до сторон $ AB, BC, CD, DA$ не зависит от выбора точки $ P$. Докажите, что $ ABCD$ — параллелограмм.
комментарий/решение
Задача №5.  Последовательность $ \{a_n\}$ задана следующим образом: $ a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1},$ $n = 0, 1, 2, \ldots$, где $ k$ — фиксированное натуральное число. Докажите, что все члены этой последовательности являются целыми числами и $ 2k$ делит $ a_{2n}$ ($ n = 0, 1, 2, \ldots$).
комментарий/решение
Задача №6.  В выпуклый четырехугольник $ ABCD$ вписали окружность, которая касается сторон $ AB, BC, CD, DA$ в точках $ A_1, B_1, C_1, D_1$, соответственно. Через $ E, F, G, H$ обозначим середины $ A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$, соответственно. Докажите, что $ EFGH$ является прямоугольником тогда и только тогда, когда $ A, B, C, D$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №7.  Неотрицательные числа $ x_1, x_2, \ldots, x_5$ удовлетворяют равенству $\sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{1}{{1 + {x_i}}}} = 1$. Докажите, что $\sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i}}}{{4 + x_i^2}}} \le 1.$
комментарий/решение
Задача №8.  $ 1650$ школьников построили в виде таблицы с $ 22$ строками и $ 75$ столбцами. Известно, что для любых двух столбцов, количество пар школьников одного пола, стоящих в одной строке, не превышает $ 11$. Докажите, что мальчиков не больше $ 928$.
комментарий/решение